На лакокрасочном предприятии производится два вида
эмалей (Эм1 и Эм2), два вида лаков (Л1 и
Л2) и смола (См1). При изготовлении каждой эмали может использован, либо лак
Л1, либо лак Л2. Для изготовления эмалей и лаков используются два вила
растворителей (Р1 и Р2) и смола См1. Нормы расходов одних продуктов при
производстве других приведены в таблице 1. По каждому виду сырья известна
величина ресурса - запас сырья на складе предприятия и объем заключенных на год
договоров с поставщиками сырья.
Для изготовления эмалей и лаков используется четыре реактора (Рк1, Рк2, Рк3, Рк4). Известен
годовой фонд рабочего времени по каждому виду оборудования. Реакторы 1 и 2
взаимозаменяемы. Нормы времени на производство продукции приведены в таблице 2.
В обеих таблицах значения в скобках соответствуют возможным вариантам производства
продукции. Например, в таблице 1 эмаль Эм1 может производиться либо на лаке Л1
с нормой расхода 0,8 т/т либо на лаке Л2 с нормой 0.7 т/т.
Товарной продукцией предприятия являются эмали Эм1 и
Эм2 и лак Л1.
По каждому виду товарной продукции определен объем заказа - поставка продукции по заключенным с потребителями
договорам и госзаказ на ее производство.
Известен общий проточный спрос рынка па товарную продукцию предприятия, а также
прогнозные цены по каждому виду продукции.
Технико-экономические показатели производства продукции по вариантам заданий приведены
в таблице 3.
Необходимо рассчитать оптимальный план производства,
максимизирующий прибыль от реализации товарной продукции предприятия, при выполнении
всех заданных условий производства. Предложить обоснованное первоначальное
оптимальное решение задачи.
Исходные данные для расчета
Таблица 1 -
Нормы расхода сырья и полуфабрикатов
Сырье, полуфабрикат
Нормы расхода, т/т
ПРОДУКЦИЯ
Эм1
Эм2
Л1
Л2
См1
Л1
0,8
0,7
Л2
0,7
0,6
См1
0,8
0,7
Р1
0,2
0,3
0,2
Р2
0,3
0,4
0,1
Таблица 2 - Блок производственных мощностей
Оборудование
Норма времени на производство продукции, час/т
Эм1
Эм2
Л1
Л2
См1
Рк1
1,0
0,3
Рк2
0,2
0,5
Рк3
0,3
0,2
Рк4
0,6
Таблица 3 -
Технико-экономические показатели
Наименование продукции, оборудования
Вариант 10
ОБЪЕМ ГОСЗАКАЗА И ЗАКЛЮЧЕННЫХ ДОГОВОРОВ НА ПОСТАВКУ, тонн
Эмаль 1
55000
Эмаль 2
92000
Лак 1
2500
ПОТРЕБНОСТЬ РЫНКА В ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ, тонн
Эмаль 1
60000
Эмаль 2
98000
Лак 1
3000
ПРОГНОЗНЫЕ ОПТОВЫЕ ЦЕНЫ, грн/т
Эмаль 1
5100
Эмаль 2
5600
Лак 1
3550
СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ, грн/т
Эмаль1 на лаке1
4630
Эмаль1 на лаке2
4635
Эмаль2 на лаке1
5000
Эмаль2 на лаке2
5090
Лак 1
3070
Лак 2
2800
Смола 1
2490
РЕСУРС СЫРЬЯ, тонн
Смола 1
12000
Растворитель1
27000
Растворитель2
85000
ГОДОВЫЕ ФОНДЫ ВРЕМЕНИ ОБОРУДОВАНИЯ, час
Реактор 1
36000
Реактор 2
16000
Реактор 3
24000
Реактор 4
40000
Технико-экономические
показатели производства продукции и потребления материальных ресурсов приведены
в таблице П1. Производительность реакторов и их годовые фонды времени приведены
в таблице П2.
Таблица П1. Технико-экономические показатели
Продукт
Заказ
Спрос
Запас
Цена
Себестоимость, грн/т
т
т
т
грн/т
На лаке 1
На лаке 2
Эм1
55000
60000
5100
4630
4635
Эм2
92000
98000
5600
5000
5090
Л1
2500
3000
3550
3070
Л2
-
-
-
2800
См1
-
-
12000
-
2490
Р1
-
-
27000
-
Р2
-
-
85000
-
Таблица П2. Годовой фонд времени оборудования, час
Рк1
Рк2
Рк3
Рк4
36000
16000
24000
40000
Изготовление
эмалей производится на основе взаимозаменяемых лаков (Л1 и Л2) и на
взаимозаменяемых реакторах (Рк1 и Рк2). Следовательно, каждая эмаль может быть
изготовлена четырьмя технологическими способами:
Эм1:
1 способ – Рк1 и Л1
2 способ – Рк1 и Л2
3 способ – Рк2 и Л1
4 способ – Рк2 и Л2
Эм2:
1 способ – Рк1 и Л1
2 способ – Рк1 и Л2
3 способ – Рк2 и Л1
4 способ – Рк2 и Л2
Обозначим
объемы производства эмали Эм1 этими технологическими способами следующим
образом: Х11, Х12, Х13, Х14.
Аналогично,
объемы производства эмали Эм2: Х21, Х22, Х23, Х24.
Введем
обозначение объемов производства полуфабрикатов: Лак Л1 – Х3, Лак Л2 – Х4,
Смола См1 – Х5.
Подставим
исходные данные в экономико-математическую модель задачи:
Коэффициенты
при искомых неизвестных переносим в таблицу П3 –
технологическую матрицу задачи
Таблица П3 –
технологическая матрица
Х11
Х12
Х13
Х14
Х21
Х22
Х23
Х24
Х3
Х4
Х5
ОГРАНИЧЕНИЯ
ЭМ1
1
1
1
1
55000
60000
ЭМ2
1
1
1
1
92000
98000
Л1
-0,8
-0,8
-0,7
-0,7
1
2500
3000
Л2
-0,7
-0,7
-0,6
-0,6
1
0
СМ1
0,8
0,7
-1
12000
Р1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,2
27000
Р2
0,3
0,3
0,3
0,3
0,4
0,1
85000
Рк1
1
1
0,3
0,3
36000
Рк2
0,2
0,2
0,5
0,5
16000
Рк3
0,3
0,2
24000
Рк4
0,6
40000
ЦФ
86
465
86
465
264
510
264
510
480
0
0
0
0
0
60000
8017
81983
0
8000
8612
95990
62082
ЭМ1
0
0
0
60000
0
0
0
0
0
0
0
60000
ЭМ2
0
0
0
0
8016,807
81983,19
0
8000
0
0
0
98000
Л1
0
0
0
0
-5611,76
0
0
0
8611,765
0
0
3000
Л2
0
0
0
-42000
0
-49189,9
0
-4800
0
95989,92
0
0
СМ1
0
0
0
0
0
0
0
0
6889,412
67192,94
-62082,4
12000
Р1
0
0
0
12000
0
0
0
0
2583,529
0
12416,47
27000
Р2
0
0
0
0
2405,042
24594,96
0
2400
0
38395,97
6208,235
74004
Рк1
0
0
0
0
2405,042
24594,96
0
0
0
0
0
27000
Рк2
0
0
0
12000
0
0
0
4000
0
0
0
16000
Рк3
0
0
0
0
0
0
0
0
2583,529
19197,98
0
21782
Рк4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
37249,41
37249
ЦФ
0
0
0
27900000
2116437
41811429
0
4080000
4133647
0
0
80041513
Таблица
– Отчет по результатам решения задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]П3 (2)
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$M$26
ЦФ ОГРАНИЧЕНИЯ
0
80041513
Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат
$B$14
Х11
0
0
$C$14
Х12
0
0
$D$14
Х13
0
0
$E$14
Х14
0
60000
$F$14
Х21
0
8016,806723
$G$14
Х22
0
81983,19328
$H$14
Х23
0
0
$I$14
Х24
0
8000
$J$14
Х3
0
8611,764706
$K$14
Х4
0
95989,91597
$L$14
Х5
0
62082,35294
Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
Формула
Статус
Разница
$M$18
Л2 ОГРАНИЧЕНИЯ
0
$M$18=$M$5
не связан.
0
$M$15
ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
60000
$M$15<=$N$2
связанное
0
$M$16
ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ
98000
$M$16<=$N$3
связанное
0
$M$17
Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ
3000
$M$17<=$N$4
связанное
0
$M$15
ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
60000
$M$15>=$M$2
не связан.
5000
$M$16
ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ
98000
$M$16>=$M$3
не связан.
6000
$M$17
Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ
3000
$M$17>=$M$4
не связан.
500
$M$19
СМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
12000
$M$19<=$M$6
связанное
0
$M$20
Р1 ОГРАНИЧЕНИЯ
27000
$M$20<=$M$7
связанное
0
$M$21
Р2 ОГРАНИЧЕНИЯ
74004
$M$21<=$M$8
не связан.
10995,79832
$M$22
Рк1 ОГРАНИЧЕНИЯ
27000
$M$22<=$M$9
не связан.
9000
$M$23
Рк2 ОГРАНИЧЕНИЯ
16000
$M$23<=$M$10
связанное
0
$M$24
Рк3 ОГРАНИЧЕНИЯ
21782
$M$24<=$M$11
не связан.
2218,487395
$M$25
Рк4 ОГРАНИЧЕНИЯ
37249
$M$25<=$M$12
не связан.
2750,588235
Таблица
– Отчет по устойчивости решения задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]П3 (2)
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48
Изменяемые ячейки
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение
$B$14
Х11
0
-97
86
97
1E+30
$C$14
Х12
0
0
465
0
1E+30
$D$14
Х13
0
-97
86
97
1E+30
$E$14
Х14
60000
0
465
1E+30
0
$F$14
Х21
8017
0
264
158
0
$G$14
Х22
81983
0
510
0
0
$H$14
Х23
0
0
264
0
1E+30
$I$14
Х24
8000
0
510
0
0
$J$14
Х3
8612
0
480
402
129
$K$14
Х4
95990
0
0
150
243
$L$14
Х5
62082
0
0
86
578
Ограничения
Результ.
Теневая
Ограничение
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
Цена
Правая часть
Увеличение
Уменьшение
$M$18
Л2 ОГРАНИЧЕНИЯ
0
-53
0
7422
70949
$M$15
ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
60000
352
60000
6403
5000
$M$16
ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ
98000
478
98000
12370
6000
$M$17
Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ
3000
306
3000
4148
500
$M$15
ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
60000
0
55000
5000
1E+30
$M$16
ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ
98000
0
92000
6000
1E+30
$M$17
Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ
3000
0
2500
500
1E+30
$M$19
СМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ
12000
76
12000
29333
5196
$M$20
Р1 ОГРАНИЧЕНИЯ
27000
378
27000
5867
1908
$M$21
Р2 ОГРАНИЧЕНИЯ
74004
0
85000
1E+30
10996
$M$22
Рк1 ОГРАНИЧЕНИЯ
27000
0
36000
1E+30
9000
$M$23
Рк2 ОГРАНИЧЕНИЯ
16000
0
16000
40992
4000
$M$24
Рк3 ОГРАНИЧЕНИЯ
21782
0
24000
1E+30
2218
$M$25
Рк4 ОГРАНИЧЕНИЯ
37249
0
40000
1E+30
2751
Таблица
– Отчет по пределам устойчивости задачи
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [мат моделирование.xls]Отчет по пределам 1
Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48
Целевое
Ячейка
Имя
Значение
$M$26
ЦФ ОГРАНИЧЕНИЯ
80041513
Изменяемое
Нижний
Целевой
Верхний
Целевой
Ячейка
Имя
Значение
предел
результат
предел
результат
$B$14
Х11
0
0
80041512,61
0
80041512,61
$C$14
Х12
0
-2,07884E-11
80041512,61
-4,15769E-11
80041512,61
$D$14
Х13
0
0
80041512,61
0
80041512,61
$E$14
Х14
60000
60000
80041512,61
60000
80041512,61
$F$14
Х21
8016,806723
8016,806723
80041512,61
8016,806723
80041512,61
$G$14
Х22
81983,19328
81983,19328
80041512,61
81983,19328
80041512,61
$H$14
Х23
0
0
80041512,61
0
80041512,61
$I$14
Х24
8000
8000
80041512,61
8000
80041512,61
$J$14
Х3
8611,764706
8111,764706
79801512,61
8611,764706
80041512,61
$K$14
Х4
95989,91597
95989,91597
80041512,61
95989,91597
80041512,61
$L$14
Х5
62082,35294
62082,35294
80041512,61
62082,35294
80041512,61
Анализ
результатов и улучшение модели
Таблица П4 - Выручка от продажи не используемых
ресурсов
ресурс
потребность
остаток
цена, грн/ед
выручка, грн
Р2
85000
74004
10996
10
109958
Рк1
36000
27000
9000
1
9000
Рк3
24000
21782
2218
1
2218
Рк4
40000
37249
2751
1
2751
ИТОГО
123927
Таблица П5 - Оценка эффективности связанных
ограничений
Ресурс
Ед.изм
Теневая цена, грн/ед
Цена ресурса, грн/ед
Скорректированная теневая цена, грн/ед
Ранг эффективности
Эм1
т
352
1000
0,35
5
Эм2
т
478
1000
0,48
4
Л1
т
306
1000
0,31
3
См1
т
76
10
7,56
2
Р1
т
378
10
37,82
1
Таблица П6 - распределение средств, вырученных от
продажи избыточных ресурсов
ресурс
ранг экон.эф-ти
сумма к распределению S распр, грн
цена ресурса, грн/ед
Допустимое изменение правой части
Принятое изменение правой части
Остаток суммы Sост, грн.
по отчету ∆В доп, ед
стоимость ∆S доп, грн
стоимость ∆S, грн
натура ∆В, ед
Р1
1
123927
10
5867
58667
58667
5867
65260
См1
2
65260
10
29333
293333
65260
6526
0
Л1
3
0
1000
4148
4147826
0
0
0
Эм2
4
0
1000
12370
12370370
0
0
0
Эм1
5
0
1000
6403
6402685
0
0
0
Вносим
изменения в технологическую матрицу и выполняем повторный расчет:
Таблица П7 – технологическая матрица улучшеная
Х11
Х12
Х13
Х14
Х21
Х22
Х23
Х24
Х3
Х4
Х5
ОГРАНИЧЕНИЯ
ЭМ1
1
1
1
1
55000
60000
ЭМ2
1
1
1
1
92000
98000
Л1
-0,8
-0,8
-0,7
-0,7
1
2500
3000
Л2
-0,7
-0,7
-0,6
-0,6
1
0
СМ1
0,8
0,7
-1
18526
Р1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,3
0,2
32867
Р2
0,3
0,3
0,3
0,3
0,4
0,1
74004
Рк1
1
1
0,3
0,3
27000
Рк2
0,2
0,2
0,5
0,5
16000
Рк3
0,3
0,2
21782
Рк4
0,6
37249
ЦФ
86
465
86
465
264
510
264
510
480
0
0
0
0
0
60000
17
89983
8000
0
8612
95990
55556
ЭМ1
0
0
0
60000
0
0
0
0
0
0
0
60000
ЭМ2
0
0
0
0
16,8
89983,19
8000
0
0
0
0
98000
Л1
0
0
0
0
-11,8
0
-5600
0
8611,765
0
0
3000
Л2
0
0
0
-42000
0,0
-53989,9
0
0
0
95989,92
0
0
СМ1
0
0
0
0
0,0
0
0
0
6889,412
67192,94
-55556,3
18526
Р1
0
0
0
12000
0,0
0
0
0
2583,529
0
11111,26
25695
Р2
0
0
0
0
5,0
26994,96
2400
0
0
38395,97
5555,631
73352
Рк1
0
0
0
0
5,0
26994,96
0
0
0
0
0
27000
Рк2
0
0
0
12000
0,0
0
4000
0
0
0
0
16000
Рк3
0
0
0
0
0,0
0
0
0
2583,529
19197,98
0
21782
Рк4
0
0
0
0
0,0
0
0
0
0
0
33333,79
33334
ЦФ
0
0
0
27900000
4437,0
45891429
2112000
0
4133647
0
0
80041513
В результате
улучшения модели сумма прибыли осталась на том же уровне 80041513грн., однако
удалось значительно оптимизировать использование оборудования.
Литература
1.
Математическое моделирование в управлении производством: Учеб.пособие /
Под ред..В.А.Мищенко, В.А.Садовского. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2007.
2.
Организация и планирование производства на машиностроительном заводе /
Под ред..С.А.Соколицина. – Л.: Машиностроение, 1973.