Дипломная работа: Философия математики

Дипломная работа: Философия математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

Философия математики

Дипломная работа

Исполнитель:

студент группы М-51 Гулевич А.А.

Научный руководитель: Скиба А.Н.

д. ф. - м. н, профессор кафедры

алгебры и геометрии

Рецензент:

д. ф. - м. н., профессор, заведующий кафедры

алгебры и Воробьев Н.Т.

методики преподавания математики

Учреждения образования “Витебский госуниверситет

им. П.М. Машерова”

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Греческая математика и её философия

2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века

3. Философия и математика в эпохе просвещения

4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии

5. Развитие математики во второй половине хiх столетия

Заключение

Введение

У философии и математики немало сопряженных точек. Их определенно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими науками.

Благодаря отвлеченности математического объекта от любых природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем дальше отстоят вещи, тем эффективнее математическое обобщение. Так оно достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность. Философия имеет и другие основания “присмотреться” к математике.

Специфичность предмета математики (науки о формах и отношениях, взятых в отвлечении от содержания) ставит ее как и философию, в особую позицию естествознанию, а в последние десятилетия - и к обществознанию. Речь идет о том, что их сближает внимание к общим аспектам познавательного процесса, поскольку они раскрывают: математика - лежащие в фундаменте всего естествознания методы и алгоритмы количественной обработки информации, философия - общую стратегию научного поиска.

Но математика являет собой не только язык науки (при том, как считают, наиболее подходящий язык), не только способ переработки ее материала в формы, открывающие новые пути исследования. Она для естествознания также источник представлений и концепций. Эта способность обслуживать науку эвристически, а так же поставлять ей методы анализа еще более сближает математику с философией.

Наконец, философы испытывают притяжение к математике и в связи с “нестандартностью" ее содержания и методов.

В современных условиях необходимость сотрудничества ощущается еще острее. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от действительности. Она всегда отличалась умением находить аналогии, сближая (часто весьма далекие) явления и процессы. И если вначале это были аналогии между утверждениями и доказательствами, позднее - между теориями, современная математика ставит вопрос о самой природе аналогий.

В данной дипломной работе исследуется взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития с точки зрения математики. Она включает листов и состоит из: введения, основной части и заключения. Основная часть содержит в себе следующие разделы: греческая математика и ее философия; взаимосвязь философии и математики от начала эпохи Возрождения до конца XYII века; философия и математика в эпоху Просвещения; анализ природы математического познания немецкой классической философии; развитие математики во второй половине XIX столетия.

Математика Древней Греции характеризуется прежде всего тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.

В эпоху средневековья в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала рассматриваться как вторичное знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления были методы экспериментально-математического исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики.

В эпоху просвещения главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального и интегрального исчислений и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

В период бурного развития политической мысли, в эпоху политических и философских революций в математике происходила бурная борьба между материалистическим и идеалистическим направлениями. Эта борьба принесла свои плоды: возникновение дифференциального и интегрального исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических воззрений на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала развитие техники, убеждая, кстати, в востребованности самой математики.

Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее требовала таких ученых, которые сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над идеализмом, а в очищении познания от догматических принципов, что является непосредственным двигателем прогресса.

1. Греческая математика и её философия

Философия впервые в истории человечества возникла в странах Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые зарождаются и системы математических знаний. Последние носили преимущественно характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления философской мысли в ряде случаев соприкасались с элементами математического познания, но эта связь не выступала в такой отчётливой форме, не оказывала заметного стимулирующего воздействия на последующее развитие как философии так и математики по сравнению с тем, что мы имеем в науке Древней Греции. Это может служить некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.

Совместный путь математики и философии начался в Древней Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной науки.

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).

Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался геометрией (составил первый "очерк геометрии"), конкретных указаний о математической деятельности Анаксимена не сохранилось.

Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.

Появление потребности доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения на развитие математики. В этом отношении греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских и математических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разума, критического отношения к достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последователи воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических положений.

Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.

На примере милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н.э. и прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор Самосский (около 580 - 500 до н. э).

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определённое душевное состояние и лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев было специфическое представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и полученными исследованиями.

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.

Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".

Согласно Аристотелю, Пифагор пришёл к понятию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное этим открытием. Однако вскоре философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур. Убежденье в истинности того или иного убеждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мире, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких совпадений ещё не возникало.

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и милетской школы, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание природы математических объектов, кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют положение математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.

Что касается природы самой математической закономерности, истоков её обусловленной истинности, то ранние пифагорейцы, скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счёт.

Сочинение Платона (427-347 гг. до н. э) - уникальное явление в отношении выделения философских концепций. Это высоко художественное, выхватывающее описание самого процесса становления, концепций, с сомнениями и не уверенностью, подчас с безрезультатными попытками решения поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.

Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатление об истине самой по себе, которые душа получила пребывая в более совершённом мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума.

Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических. "Когда геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным взором".

В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.

Наряду с пифагорейской философией существовала, хотя и в недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.

Математически атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.

Первый наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен открытием несоизмеримых отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях Зенона - нескольких рассуждениях, которые будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.

Широкая критика пифагореизма была дана Аристотелем в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его мировосприятие отличается от платоновского радикальным образом.

Аристотеля можно назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического познания не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.

В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится все математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.

Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные от вещей.

Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и пропорциональности чисел, закладываются основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих материалистов-атомистов, возглавлявшаяся Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).

Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного проведения религиозно-идеалистических установок их мировоззрения, сколько преодолением их. Ведь если следовать за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда не имело никакого смысла вести самостоятельную исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами главы секты пересекают поиск истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь вступают в противоречия с рядом методологических установок (необходимость научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения идеалистического характера последовательно выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.

Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах мира, можно признавать его как определённый метод аргументации. В этом плане он оказал громадное влияние на последующее развитие философской и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке сохраняется как антологизация различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть электромагнитную природу света. Как можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.

2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века

За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.

В период средневековья считалось, что центр Земли совпадает с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических наблюдений и их математической обработки сделал вывод, что Земля вращается вокруг Солнца. Эту идею высказывали еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы солнечной системы, представив Вселенную как безграничную область, заполненную бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции была математика", - писал Кедровский О.И.

Таким образом, возникало новое научное мышление. Созданные в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты новой науки были изолированы, поскольку земные небесные движения рассматривались как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли работы Р. Декарта. Мир представлялся Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому перемещению. Таким образом, природа мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.

Декарт создал метод координат, перебросив мостик между алгеброй и геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими методами и наоборот. Очень важно также было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать по тому же пути". Поворотным пунктом математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.

Однако уже самому Декарту приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры как универсального математического метода. В силу жесткой связи между математическим методом и общей методологией познания, такое изменение затрагивало основы философской системы.

И. Ньютон синтезирует многочисленные исследования, проведенные его предшественниками и им самим, и создает принципиально новую систему знаний о природе. Читая лекцию по теории света и цветов, он на основе измерительного математического опыта и математического расчета, делал вывод, что науку о цветах "следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением". Ньютон в своих "Началах" впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически точный компонент.

При решении некоторых физических задач Ньютону приходилось сталкиваться с проблемой проведения касательных к кривым. Им был разработан универсальный метод построения касательных - метод флюксий, являвшийся, по сути, методом нахождения производных. Создание теории флюксий Ньютона было осуществлено в органическом единстве математических знаний философских идей. Философские понятия выполнили синтезирующую роль по отношению к фактам математического знания.

Успехи, достигаемые на пути математизации естествознания, укрепляли веру в значимости математики. Появление работ Ньютона, как образно выразился Д.А. Граве, открыло эпоху перехода этой веры в полное внутреннее убеждение. Из сферы умозрительных натурфилософских рассуждений по средствам математики и опыта выводится обширная область явлений, которые теперь находят более скрытое объяснение в пределах конкретной науки. Широкое распространение получает мнение, что посредством математики и механики, которые разъяснили столь многое, можно объяснить всё. Когда же обнаружилась неспособность "математизированной метафизики" выполнять возложенные на неё функции, то это послужило одним из оснований для дискредитации всей системы механического материализма, повода для возрождения идеалистических и теологических позиций в науке. Подобного рода тенденция находит проявление в работах Г.В. Лейбница.

Одним из приверженцев новой науки становится Лейбниц. Он предсказывает неудовлетворение механической картиной мира и делает попытку изменить её. Великой заслугой немецкого мыслителя было то, что он, хотя и в теологической форме, но подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения.

Но Лейбниц неправ, когда дополнение количества качеством по сути дела приводит как дополнение материального идеальным.

Тенденция дематематизации начал бытия, проводимая Лейбницем, поскольку она была продиктована стремлением найти более глубокое объяснение явлений действительности и установить более рациональное отношение между математикой и философией, имела прогрессивное значение.

Независимо от Ньютона Лейбниц так же пришёл к открытию дифференциального, а затем и интегрального исчисления. Многие основные черты нового метода математики выступили как конкретное преломление, примиритель к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии.

Воззрение Н. Коперника, Дж. Бруно, И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона и Г.В. Лейбница представляют основное течение формирования новой системы взглядов на мир. Наиболее ортодоксальными противниками этой линии были сторонники религиозно-схоластического миропонимания. Между теми и другими формировались и эволюционировали промежуточные направления, в большей или меньшей мере они равнялись на математику. Однако наиболее ярко последняя проявила себя именно в сочинениях рассмотренных выше учёных.

Успехи, достигнутые на пути широкого применения математических средств, на пути количественного анализа послужили поводом для распространения последнего за рамки допустимого. Использование математики в ряде случаев сопровождается абсолютизацией дедуцирования по сравнению с опытным исследованием, преувеличением роли количественного подхода и умалением значимости качественного анализа, неправомерной подменой мировоззренческих, философских принципов положениями математического естествознания, чрезмерное увлечение математикой в системе философского познания делает последний односторонним. Абсолютизация роли математики оказала отрицательное воздействие на прогресс науки, поскольку послужила монологическим источником возникновения на новой основе идеалистических воззрений.

Философский анализ у мыслителей новой эпохи не охватывает столь широкого спектра проблем, как период античности, особенно в логико-монологическом аспекте, но поставленные проблемы решаются в значительно более многообразных формах. Предлагаемые решения не столь строго аргументированы как в период античности, но они посвящены более оригинальным и продуктивным идеям. Философские проблемы математики в период античности имеют более чётко выраженный системный характер, так как они подверглись тщательной логической обработке. В данном случае зависимости между содержанием отдельных проблем, детерминируемость одних проблем другими носят несколько фрагментарный характер.

Преобразование системы философии математики античности осуществлялась как представителями конкретной исследовательской деятельности в математике, так и представителями философской науки, впрочем, в рассматриваемую эпоху подчас трудно определить в какую категорию отнести того или иного ученого. В лице Галилея мы имеем особенно яркий пример ученого, который занимался философскими проблемами математики не столь для решения философских или натурфилософских проблем, сколько под воздействием конкретных исследований в математике и механике. Спиноза и Гоббс занимались анализом философских проблем математики, преимущественно исходя из потребностей разработки системы философского знания. В деятельности таких энциклопедистов как Декарт и Лейбниц первый путь (от математики) и второй (от системы философского знания) тесно переплетаются. Философские проблемы математики занимают промежуточное положение между системой философии, в собственном смысле этого слова, и системой математики. Это прикладная область по отношению к философии и основа системы математики. Проблематика, разрабатываемая в пределах философии математики исходя из потребностей математических исследований, несколько отличается от той, которая особенно актуальна для развития философии, но и первая и вторая проблемы требуют согласования по содержанию, представления всех их относительно единой системы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Узость конкретно научного подхода у некоторых талантливых математиков была одной из причин того, что они не смогли сделать больше, чем создать очередную разновидность частных приёмов дифференциального и интегрального исчисления. С другой стороны, абсолютизация методологической роли некоторых аспектов математического познания (например, у Декарта) создаёт препятствие, как на пути усовершенствования математического метода, так и на пути развития философских знаний.

В заключении, обозревая историческое развитие математики от эпохи Возрождения до конца XVII века, выделим наиболее важные формы влияния философии на эту науку.

Когда под определяющим воздействием производственных потребностей "после тёмной ночи средневековья вдруг вновь возрождались с неожиданной силой науки, начинающие развиваться с чудесной быстротой", на пути их прогресса стояли мировоззренческие установки схоластики. Процесс поиска новых знаний третировался как ненужный, теоретические построения противопоставлялись практическим приемам и были оторваны от опытных исследований. Борьба прогрессивных мыслителей против схоластики способствовала раскрепощению творческой инициативы в математике, соединению вычислительных и измерительных приемов с понятным аппаратом теоретической математики, органическому сочетанию математических знаний с естественнонаучными.

Первые попытки создания новых математических методов исследований (Кеплер, Кавальери) базировались на концепции неделимых, обязанной своим происхождением атомистическому учению, восходящему к Демокриту. Философская мысль античности, переданная через много промежуточных звеньев, оказалась продуктивной основой математического творчества в новую эпоху.

Реформа алгебры, проведенная Декартом, осуществлялась как один из основных этапов построения его философской методологии. Введение символических обозначений, методика сведения всякой проблемы к математической задаче, решение последнее как составление уравнений и нахождение их корней обосновывается исходя из общих представлений о процессе познания.

Создание теории флюксий Ньютона осуществляется в органическом единстве математических знаний и философских идей. Философские понятия выполняют синтезирующую роль по отношению к фактам математического познания, соотношение между этими понятиями переносятся на соответствующий понятийный аппарат дифференциального и интегрального исчисления, они используются в процессе обоснования последнего.

Неудовлетворённость сложившимися средствами решения математических задач и стремление создать новый общий метод математики у Лейбница обусловлены методологическими соображениями. Многие основные черты нового метода математики (дифференциального исчисления) выступают как конкретное преломление применительно к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии. Обоснование анализа проводится преимущественно метафизическими рассуждениями.

Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления её мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики. Такого рода исследования в анализируемый период выступают как одно из важнейших направлений философского познания.

3. Философия и математика в эпохе просвещения

"География" эпохи Просвещения весьма обширна. Философское познание и математическая деятельность активно развиваются в странах Западной Европы, в России, на Американском континенте.

Логическая противоречивость оснований анализа, несогласованность между его идейным содержанием и вычислительным аппаратом делали его уязвимым для критики. Этим не замедлили воспользоваться те представители идеалистической философии, которые хотели дискредитировать математику, развитие которой осуществлялось преимущественно на материалистической основе. Наиболее видным философом такого типа является Дж. Беркли (1685-1753 гг.).

В своей основной работе - "трактат о началах человеческого знания, в котором исследуются главные причины заблуждений и трудности наук, а так же основания скептицизма, атеизма и безверия" - Дж. Беркли объявляет причиной всех указанных в заглавии зол материализм и основную задачу работы видит в опровержении фундаментального понятия материалистического мировоззрения - понятие материи. Чтобы разорвать связь математики с материализмом, Беркли стремится максимально привязать её чувственно воспринимаемым образом, дать ей субъективистскую трактовку, а всё что не поддаётся такой трансформации, удалить, ссылаясь на практическую бесполезность и умозрительность. Поэтому Беркли отрицал бесконечное в форме бесконечной делимости конечного, и в форме бесконечно малых и больших величин. Английский философ представляет математику как науку об идеях, получаемых от ощущений. Её объекты - это знаки, обозначающие комплексы идей. Беркли пытается изменить не только "внутреннюю жизнь" математики, но и применимость её в других науках. Беркли выдвигает свою концепцию математики как логическое следствие субъективно-идеалистической философии, и тот факт, что эта концепция оказалась регрессивной, свидетельствует о порочности той философской основы, на которой она воздвигнута. Беркли в угоду своей философской доктрине деформирует процесс научного познания в той степени, что прогресс его становится не возможен. Его учение об идеях явилось переходной ступенью к возникновению агностицизма в форме юмизма. Последующее развитие математики не оправдало надежды Беркли.

В том, что английская математика сумела сохранить материалистическую платформу развития своей науки, несмотря на столь активные нападки субъективного идеализма, существенную роль сыграло наличие сильных материалистических традиций в английской философии.

Среди английских философов - материалистов конца XVII -первой половины XVIII веков, особого внимания заслуживают воззрения Джонам Толанда (1670-1722), который уделял много внимания анализу таких понятий как материя, движение, пространство, время, анализировал связь математического познания с физическим и философским.

Толанд настаивает на необходимости разграничения "между пространственным движением и движущей силой, или активностью, либо пространственное движение есть только перемена в положении тела". В данном случае английский материалист выходит за границы механического понимания движения, свойственного философии XVII - XVIII веков и приближается к диалектическому взгляду, согласно которому "движение, в применении к материи - это изменение вообще".

Историческая заслуга Толанда состоит в выдвижении и обосновании положения о том, что "движение есть существенное свойство материи… Столь же неотделимая от ее природы, столь не отделимы от нее непроницаемость и протяжение". Толанд заложил основы для нового понимания природы математического познания. В его сочинениях можно встретить немало интересных высказываний, относящихся к логико-гносеологическому анализу математики. Толанд указывал, что содержание математических понятий берется из реально существующего мира. Нельзя не согласиться с замечанием Толанда, что различие между математическим и реальным объектами постоянно надо иметь ввиду при пользовании метода математической дедукции.

Видным представителем философской мысли континентальной Европы, деятельность которого тесно связана с математическим познанием, в рассматриваемый период был Христиан Вольф (1679-1754).

Идеалом научной системы у Вольфа выступает математика: во-первых, в силу "несравненно хорошего порядка, коим содержащееся в ней учение предназначается и утверждается", во-вторых, потому что ее знания "как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. Под методом математики он понимает "порядок, который математики употребляют", когда изложения своих знаний начинают с определений, аксиом, затем переходят к теоремам, проблемам, примечаниям т.д. Вольф все подвергает рассудочной обработке, классифицирует, определяет, дедуцирует. Просветительская деятельность Вольфа, её стремление к ясному, точному, доступному изложению знаний имели в определённой мере положительное значение. Способ изложения математики в его системе абсолютизирован до предела и это оказало регрессивное влияние, как на развитие философии, так и на развитие математики.

Необоснованное стремление представить математический способ построения системы науки как универсальное средство постижения истины, в конечном итоге, привело к подрыву авторитета математики, к дискриминации процесса математизации научного познания.

В пределах самой математики точная и педантически скучная схема изложения в лучшем случае могла служить для представления начальных сведений по элементарной математике, но она сковывала самостоятельную исследовательскую деятельность и в наиболее интенсивно развивавшейся области - области математического анализа - её не придерживались.

Следует отметить так же деятельность Петербургской академии наук. Иностранные учёные оказали ей существенную поддержку, но стремительный прогресс смог иметь место, прежде всего потому, что для этого были созданы необходимые условия, русская наука выдвинула своих талантливых исследователей. Наиболее видными из них является М.В. Ломоносов (1711 - 1765).

М.В. Ломоносов был хорошо знаком с математикой того времени. Из высказываний видно, что он очень высоко оценивал математику как средство познания логически строгих и всеобщих истин. Математический метод рассматривался учёным не только как способ упорядоченья знаний, ему отводилась роль важного эвристического средства по отношению к другим наукам, его исследования во многих областях науки основывались на количественном анализе.

Если сравнить воззрение М.В. Ломоносова на природу математики с третированием этой науки у Беркли или с догматическим наложением математической схемы на чуждое ей содержание у Х. Вольфа, то нужно признать, что великий русский учёный придерживался значительно более продуктивной методологической основы математической деятельности и в этом отношении может быть отнесён к наиболее прогрессивным мыслителям мирового масштаба первой половины XVIII века.

Философия Франции в XVIII веке представлена многочисленной плеядой выдающихся мыслителей. Одним из которых является Ж.А. Кондорсе, который рассматривает основные исторические этапы математического познания в связи с общим развитием материальной и духовной культуры человечества.

Кондорсе в схематической форме отличил наиболее существенные этапы эволюции математической мысли. Основную ценность составляют не столько приводимые факты, сколько попытки объяснить их. Кондорсе считает, что математика возникла лишь на определённом этапе развития человеческой культуры и развивалась поступательно. Это положение разделяет с ним и Гельвеций: "Представления о числах … так поразительно ограничены у некоторых народов, что они не умеют считать дальше трех, и выражают число больше трёх, словом много". Возникновение исходных геометрических и арифметических знаний Кондорсе связывает с необходимостью удовлетворения производственных потребностей. Идея определяющего воздействия производственной деятельности на процесс научного познания в общем виде формируется у Кондорсе довольно чётко. Интересна его попытка выявить в процессе прогрессирующего развития знаний тенденции и закономерности как качественного, так и количественного характера. Мерилом прогресса некоторой науки у него выступает "сумма заключающихся в ней истин". Важная роль в ускорении прогресса математики отводится Кондорсе усилению взаимодействия её отдельных дисциплин. Обобщая пройденный научным познанием путь, Кондорсе приходит к выводу, что ни одна наука не может спуститься ниже той ступени, на которую она возведена.

Существенно иного мнения, чем Кондорсе придерживался Руссо и особенно Дидро. Последний считал: "По той склонности умов к морали, к литературе, к истории природы, к опытной физике, которая замечается в настоящее время, я почти с уверенностью скажу, что не пройдёт и ста лет, как в Европе нельзя будет насчитать и трёх великих геометров".

Французские мыслители подчеркивали связь даже наиболее абстрактных математических построений с чувственно воспринимаемой действительностью. Общий характер понятия пространства и тесная связь его с существованием неоднократно приводили в истории философии к представлении о нём как о какой-то сущности. Подобного рода трактовки, по мнению Гельвеция, являются злоупотреблением словами. Так слово "величина" даёт ясные, реальные идеи лишь в тот момент, когда его применяют к определённому предмету. И Гельвеций и Дидро подчёркивали, что научное мышление имеет объективное предметное содержание. Их позиция в данном случае противоположна позициям субъективного идеализма.

Одновременно с интенсивным развитием материалистических философских школ происходила и эволюция идеалистических философий, некоторые представители которой много внимания уделяли математике. Одним из них является Давид Юм. Он интересен тем, что дает последовательное развертывание принципов своей философии применительно к математическому познанию. Юм остриё критики направил против материализма в познании.

Сравнивая взгляды Юма на природу математического познания с воззрениями французских материалистов, нетрудно установить принципиальные различия между ними по многим фундаментальным вопросам. Материализм и субъективный идеализм как бы предлагали разные платформы для математической деятельности, являющиеся следствиями и их общих философских принципов.

Среди замечательной плеяды математиков рассматриваемого периода можно выделить трех ученых: Л. Эйлера, Ж. Д’ Аламбера и Ж.Л. Лагранжа.

Л. Эйлер сделал первые степенные открытия почти во всех областях современной ему математики, заложил фундамент устного ряда новых направлений исследований. Являясь, прежде всего представителем русской науки, он оказал исключительно сильное влияние на всех наиболее видных математиков XVIII столетия.

Одной из определяющих черт творчества ученого является глубокая и органическая связь его математических изысканий с потребностями естественных наук и техники. Разрабатывая математические теории, Эйлер был убежден, что он тем самым выявляет объективно существующие закономерности материального мира, а не субъективные связи между восприятиями. Математика была для него критерием оценки данных ощущений. Эйлер, отвергая идеалистические утверждения, обращается к здравому смыслу. Материалистическая основа научной деятельности была им глубоко продумана, о чем свидетельствует критическое отношение ученого к узкому материалистическому эмпиризму. Эйлер подчеркивает выдающуюся роль в научном познании гипотез и абстрактных понятийных построений. Разработка формального аппарата математической теории сочетается у него с содержательным анализом ее фундаментальных понятий. Усовершенствуя математические понятия, Эйлер обращает внимание на сам механизм формирования понятий. Он примыкает к Ньютоновскому пониманию предела как такого значения, которое переменная все-таки достигает. Математические исследования ученого способствовали научному прогрессу, торжеству научного знания над невежеством и религиозным фанатизмом. Однако сам Эйлер, в отличие от французских мыслителей не только не выступал активно против религии, но даже пытался защитить ее.

Ж. Д’ Аламбер (1717-1783) известен как выдающийся математик, сделавший ряд важных открытий. Его творчество представляет одну из наиболее ярких иллюстраций органической взаимосвязи философских и математических знаний. Разработка проекта новой системы математического образования и проблема обоснования математического анализа получили особенно яркую своеобразную трактовку в деятельности Даламбера.

Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) принадлежит к числу наиболее великих математиков XVIII столетия, уступая лишь Эйлеру по многогранности математического творчества и разнообразию решенных задач. Аналогом его математических и механических конструкций могут служить развитые в ту эпоху философские, философско-исторические и иные идеологические системы. Конечно, работам Лагранжа по аналитической механике, теории функций, алгебре, теории чисел свойственна более высокая степень абстрактности и общности, чем его предшественникам. Движение познания к более высоким уровням абстрагирования, прогрессирующая формализация вполне закономерны. Можно согласиться, что у этого ученого и его последователей имеет место некоторое увлечение вновь разработанными формальными построениями, в определенной мере даже абсолютизация их значимости при решении отдельных задач, но это не снимает того, что Лагранж является ярко выраженным представителем механистического материализма XVIII века. Лагранж не ограничивается только составлением предельно общих дифференциальных уравнений механики, но постоянно стремится довести решение задач этой науки до результатов, сравнимых с материалом наблюдений и экспериментов. Механика у Лагранжа стала общей наукой о движении материальных систем.

Подведем итоги проведенного анализа развития философии и математики в эпоху Просвещения.

Главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII было овладение приемами дифференциального и интегрального исчисления и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Объясняется это, по-видимому, тем, что математика перешла на эволюционный этап развития, предшествующая метафизика исчерпала в значительной степени свои возможности по отношению к математике. По своему характеру математика является несколько более удаленной от философского знания, связь с философией становится опосредованной через фундаментальные принципы и понятия анализа, которые как бы насыщенны необходимыми философскими идеями. Математика и другие конкретные науки как бы "отлеживали себе самостоятельные области".

Нельзя сказать, что философский анализ полностью отсутствует на новом этапе развития математических знаний. Хотя он не носит характера создания обширного комплекса философских проблем, но в виде постановки отдельных вопросов встречается довольно часто. Однако возможности прежней метафизики в этом отношении были ограничены. Всё наиболее существенное, что она могла дать математике, было приспособлено для нужд этой науки в виде основополагающих понятий и принципов анализа. Философские проблемы, связанные с расширением практической применимости анализа и его более конкретными усовершенствованиями, в области умозрительной метафизики не могли быть решены. Прежняя метафизика в условиях XVII века в целом удовлетворяла запросы математики, в новых условиях она стала плоской.

Изменилось в начале XVIII века отношение философов к математике. В философских трактатах анализ природы математического познания если и имеет место, то в значительно меньших масштабах. За редким исключением, ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

На примере Л. Эйлера, Ж. Д’ Аламбера и Ж.Л. Лагранжа видно, что, по сравнению с первыми десятилетиями XVIII века, в среде математиков значительно расширяется философский анализ различных аспектов их наук. Этого требовали объективные условия развития математических знаний.

Математики в принципе имели возможность обратиться для удовлетворения своих потребностей к разным философским системам: материалистической философии Просвещения, субъективно-идеалистическому учению Юма, метафизике XVII века, на которой базировали свои исследования Ньютон и Лейбниц.

Не составляет особого труда установить несоответствие между юмовским пониманием природы математики и теми философскими принципами, которыми руководствовались математики XVIII века.

Математическая философия эпохи Просвещения по сравнению с другими существовавшими философскими учениями создавала наиболее благоприятные условия для прогресса математики и оказала на нее многообразное воздействие. Она ломала косность мышления, устаревшие традиции, стремилась рационально объяснить основные аспекты жизни общества и тем самым создавала творческую атмосферу для усовершенствования математических знаний.

Мыслители Просвещения провели разработку многих важных философских проблем математики: они проделали значительную работу по раскрытию механизма абстрагирования, изучения чувственной стороны математического познания позволило выявить ряд интересных свойств математических понятий, им принадлежит попытка объяснить теоретико-познавательные особенности математики исходя из природы ее предмета, они указали на важное значение производственной деятельности для развития математических знаний, анализируя тенденции исторического развития математики, они пытались использовать как качественный, так и количественный подход; они убедительно показали отрицательное воздействие религии на прогресс науки, исследовали механизм использовали математики в других науках, разработали основные принципы системы математического образования, провели критику идеалистических воззрений на предмет и метод математики. В свою очередь, математика была действенным союзником в идеологической борьбе передовых французских мыслителей против прежней метафизики, против сил реакции.

Указывая на плодотворность взаимодействия между философией эпохи Просвещения и математикой, следует иметь в виду ограниченность масштабов этого процесса, некоторые отрицательные моменты, которыми он сопровождался. По сравнению с философскими трактатами XVII века в сочинениях философов рассматриваемой эпохи математический материал используется в значительно меньшей мере. Анализ природы математического познания носит фрагментарный характер, использование математики нередко проводится некритически.

Определенные стороны математического познания вызывали неудовлетворенность у философов эпохи Просвещения. Тесная связь некоторых теоретических построений математики с предшествующей метафизикой, против которой выступала философия времен Просвещения, иногда служила основанием для распространения критики на математику. Для представителей математического познания отчасти были неприемлемыми узкий практицизм и эмпиризм, проявлявшиеся во взглядах отдельных философов эпохи Просвещения, они не могли согласиться и с недооценкой последними перспектив развития их науки. Однако, в целом, отмеченные разногласия не снимают того факта, что именно материализм служил философской основой тех замечательных успехов, которых добились математики в XVIII столетии, а математика играла существенную роль в борьбе материализма против идеализма и религии.

4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии

Политической революции во Франции сопутствовала философская революция в Германии. Кант начал ее тем, что ниспроверг устарелую систему лейбницевской метафизики, которая к концу прошлого столетия принята была во всех европейских университетах. Фихте и Шеллинг начали перестройку философии, а Гегель завершил новую систему.

Немецкая классическая философия представляет одно из наиболее грандиозных созданий человеческого разума. Ее непреходящее историческое значение состоит в том, что в ней, хотя и в ложной, идеалистической форме, осуществлялась систематическая разработка диалектики.

Научную деятельность Канта в соответствии с эволюцией его философских воззрений, обычно делят на два периода - "до критический" (до 1770 года) и последующий "критический", получивший свое наименование от названия основной работы этого периода - "Критики чистого разума".

Само по себе стремление последовательно проследить в области математического познания проявления общих философских принципов и логических следствий из них, пронизывающее работы Канта, заслуживает положительной оценки, и великая заслуга Канта состоит в том, что после Аристотеля ему удалось создать наиболее обширную, логически развернутую систему философии математики. Но если философские принципы не совсем соответствуют природе математики, а их догматически пытаются внедрить в нее, то идейное содержание данной науки деформируется. Подобного рода негативные моменты воздействия философии на математику находят проявления в творчестве Канта. Так, обнаружив несоответствие некоторого философского положения с фактом математического познания, он критически подходит к выяснению того, что же в таком случае требует изменения - философское положение или трактовка математических законов.

Согласно Канту, понятие геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Геометрия по Канту не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуры априорных форм чувствительности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясна: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза".

Исходя из современных представлений, не составляет особого труда указать на несостоятельность кантовских взглядов на математику, но не следует забывать, что современная позиция есть результат длительного исторического развития как философской, так и конкретно научной мысли. Это развитие привело к критической переработке кантовского учения о математике, причем критика не сводилась к отбрасыванию его утверждений. Качественно новые воззрения возникли путем удержания всего того ценного, что сумел открыть этот выдающийся мыслитель.

Философское наследие Фихте не содержит столь же богатого материала для изучения проблемы взаимосвязи философии и математики, как это имеет место в сочинениях Канта, но, тем не менее, ряд рассуждений затрагивает некоторые её интересные аспекты.

Целью Фихте было укрепить основания философского знания, упрочить тот фундамент, на котором строил философию Кант. На усовершенствованном основании, по его мнению, философия должна строиться с математической достоверностью. Кроме рассуждений о процессе взаимосвязи философии и математики в работах Фихте имеются и некоторые более конкретные замечания по отдельным философским проблемам математики, в частности, несколько видоизмененные изложения кантовской концепции пространства. Фихте, считает, что "протяжённость в пространстве есть не что иное, как самосозерцание свой способности быть бесконечным в созерцающим". Можно отметить некоторые отдельные идеи Фихте, воспринятые в последующем развитии научного познания (идею цикличности при обоснованном построении научной системы, положение об относительной самостоятельности обоснования математики по отношению к философии и в то же время утверждение о необходимости философского анализа исходных принципов математики), но в целом этот мыслитель не внёс каких-то существенных изменений в кантовскую философию математики, которую он взял за основу своих изысканий, его деятельность не повлияла ощутимым образом на процесс взаимодействия философии и математики.

Примерно тот же вывод можно сделать относительно Шеллинга. В сочинениях этого мыслителя встречаются отдельные натурфилософские размышления о природе математики и её основных объектов: о пространстве и времени, соотношении бесконечного и конечного и т.д. Единство и различие философии и математических наук он связывает с различным пониманием соотношения конечного и бесконечного.

Обращение к анализу математического познания у Гегеля, судя по его первому крупному произведению - "Феноменология духа", обусловлена мотивами, подобными тем, которыми руководствовался Кант. У обоих мыслителей интерес к математике направлялся стремлением к достижению единой цели: Кант пытался построить метафизику как систему достоверного знания, Гегель заявил, что его намереньем "было - способствовать приближению философии к форме науки - к той цели, достигнув, которой она могла бы отказаться от своего имени "любви к знанию" и быть "действительным знанием"". Если Кант считал, что философское и математическое знания по достоверности в идеале могут быть однородными, то Гегель убежден, что природа математических истин "отличается от природы философских истин". Математика, как пишет Гегель, считается наукой, прежде всего потому, что она доказательна. Только доказанное положение считается правомерным элементом системы, в математике "полное выведение результатов есть ход и средства познавания". Является ли такой путь познания идеальным? Нет, отвечает Гегель.

Союз между философией и математикой может быть действительным, если он основан на взаимном интересе. Гегель в принципе считал необходимым обращение математиков к философии. Что касается обращения философов к математике, то по этому вопросу он занял иную позицию, не способствовавшую укреплению союза данных наук. "Поскольку очевидность в математике "покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала", то она неприемлема в философии". Сам Гегель, если учесть, что он не был специалистом математики, для своего времени был очень хорошо знаком, как с историей математики, так и с ее новыми достижениями на уровне распространенных учебных пособий высшей школы.

Гегель знал математику на столько, что никто из его учеников не был в состоянии издать оставшиеся от него многочисленные математические рукописи.

Но мнение Гегеля по вопросу о необходимости философам обращаться к математике было противоположно тому, что он сам делал. С его точки зрения математика не может "что-то определить для метода и содержания философской науки".

Большинство исследователей акцентируют внимание на негативизм Гегеля к математике и недостаточно уделяют внимание тем интересным, оригинальным идеям, которые требуют осмысления и дальнейшего развития. Кроме того, при оценке гегелевской позиции, она не рассматривается в соотношении с реальным процессом развития математических знаний того времени. Чтобы устранить последний недостаток дадим краткую характеристику наиболее выдающихся достижений математической мысли конца XVIII - первых десятилетий XIX столетия и проследим, какое влияние на её развитие оказали взгляды Гегеля и других представителей немецкой классической философии.

В рассматриваемый период протекала деятельность таких выдающихся математиков, как Г. Монж (1746-1818), К.Ф. Гаусс (1777-1855), О.Л. Коши (1789-1857), Н.И. Лобачевский (1792-1856), Э. Галуа (1811-1832). Ими были получены многие первостепенные результаты, среди которых, прежде всего, следует упомянуть преобразование, совершённые в фундаменте трёх главных дисциплин: математического анализа (Коши), геометрии (Лобачевский, Гаусс, Больаи), алгебры (Галуа, Абель). Учёные, совершившие их, принадлежат к разным математическим школам. Так, Коши представляет математику Франции, Лобачевский - русскую математическую школу, Гаусс - математику Германии. Анализ мировоззрения данных учёных с целью выяснить влияние на ни них немецкой классической философии даст представление не только о силе такого влияния, но и о "географии" его распространения.

Французские математики в рассматриваемый период преимущественно группировались вокруг знаменитой Политехнической школы. Последняя была открыта 1794 году и очень скоро достигла исключительных успехов. Фактически почти все, что был сделано во Франции в первые десятилетия XIX века в области математики, физики и химии, идет из Политехнической школы, пишет Ф. Клейн. Преподавателями или воспитанниками школы были такие выдающиеся исследователи, как Монж, Пуассон, Фурье, Коши, Понселе, Кориолис и другие.

Детище революции - Политехническая школа - как бы стремилась распространить пламя революции на область технического и научного творчества.

Одним из фундаментов и фактически руководителем Политехнической школы до последних дней школы был Гаспар Монж. Творчество этого математика сможет служить яркой иллюстрацией того влияния, которое общественные идеалы прогрессивных французских мыслителей XVIII века оказывали на развитие математических знаний. Важную роль ученый отводил созданному им новому разделу геометрической науки - начертательной геометрии. Как преподаватель военной школы в Мезьере, а затем в Политехнической школе Монж методически проработал и передал многочисленной аудитории курс начертательной геометрии, стимулируя дальнейшее развитие математических знаний, непосредственно связанных с конкретными практическими задачами. Многие его ученики восприняли у Монжа не только математические знания, но и мировоззренческие установки учителя.

Одним из учеников Монжа был Л.Н. Карно, которого часто называют "генералом революции" и "генералом математики". Эти почетные титулы он получил заслуженно. В области математической деятельности он известен как автор работ по прикладной механике. Общие мировоззренческие и методологические установки Карно в целом находятся в русле основных идей материалистической философии французского просвещения. Оба соображения лежавшие в основе Концепции Карно (неопределенность дифференциалов и компенсация погрешностей) не имеют убедительного обоснования. Внутренняя его позиция двойственно противоречива. Но при этих недостатках работа Карно "Размышление о метафизике исчисления бесконечно малых", была важным, интересным исследованием. Она отличается от предшествующих сочинений на данную тему четности поставленной проблемы ясность ее определения, здесь предпринимаются попытки строго дедуктивного, систематического изложения основных понятий и принципов анализа. Карно как бы подводит итог исследования по обоснованию анализа и отчасти подготавливает почву для той реформы анализа, которую в XIX веке осуществил Коши.

Строгое обоснование дифференциального и интегрального исчисления Коши развивает в лекциях и сочинениях в 20-е годы XIX века. Осуществляя построение анализа на базе теории пределов, Коши не только стремится завоевать признание бесконечно малых и оправдать их применение. Он дает научное истолкование алгоритму их использования. В мировоззрении этого выдающегося математика не религиозные выравнивания составляли основу научного творчества. Такой основой были стихийно-материалистические принципы, закрепленные под влиянием Монжа. Однако они сочетались с религиозной убежденностью, выработанной под воздействием той среды, в которой воспитывался и жил Коши.

В конечном итоге под давлением объективных потребностей математического познания идея актуальной бесконечности со временем, завоевала признание. Она получила четкую формулировку в работах современника Коши - талантливого чешского ученого Больцано. Он был знаком с гегелевской трактовкой и выступил с ее критикой "Я не допускаю только того, что бы философу был известен какой-либо предмет, которому он был бы в праве приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества", - писал Больцано.

На примере критических замечаний Больцано видно, что у математиков вызывали отрицательное отношение резкие гегелевские суждения об их науки, они выступили с осуждением обособления математически выразимого количества от качества, которое действительно имеет место у Гегеля. Вместе с тем у Больцано имеет место и определенное недопонимание истинного смысла гегелевской трактовки понятия бесконечного, поскольку призыв великого философа не ограничивался выявленным количественным аспектом бесконечного, был актуальным, важным для развития математики.

Известно, что неевклидова геометрия была почти одновременно открыта несколькими учеными. Это были Н.И. Лобачевский, К.Ф. Гаусс и Иоанн Больаи. Однако Н.И. Лобачевский по праву заслужил славу творца неевклидовой геометрии.

Создание новой геометрии относится к числу тех открытий, значение которых выходит за пределы математики. В сложном процессе формирования этого научного результата, необходимо отметить только один аспект: ту мировоззренческую основу, исходя из которой такие математики, как Гаусс и Лобачевский пришли к его открытию.

Творчество Гаусса знаменует переход к новому этапу развития математических знаний. Мировоззрение этого математика противоречиво. Оно включает такие принципы как убежденность в объективном существовании действительности, признание практической ценности науки. Вместе с тем в понимании некоторых вопросов математического познания, Гаусс находился под влиянием кантовских воззрений. Гаусс в принципе мог опубликовать ряд основоположений новой геометрии раньше Н.И. Лобачевского, но он этого не сделал. Открытие неевклидовой геометрии явно противоречило официально принятым и все более широко распространявшимся в то время в ученом мире Германии мировоззренческим и методологическим установкам Канта. Кроме того, данное противоречие имело место и в пределах мировоззрения самого ученого. Для него разработка неевклидовой геометрии - это разрыв с усвоенными ранее фундаментальными представлениями о природе математике. Не удивительно, что она сопровождалась сомнениями, неуверенностью, а подчас и нежеланием выступить с пропагандой новых идей.

Н.И. Лобачевский подошел к открытию неевклидовой геометрии существенно иных философских позиций по сравнению с Гауссом. Ряд исследований специально посвященных изучению мировоззрения Лобачевского, показывают, что этот великий математик был ярким представителем материализма в науке. Важно подчеркнуть, что его материалистическое мировоззрение не является каким-то эпизодическим явлением, а продолжением и развитием материалистических традиций в русской математике, естественным следствием той идейной борьбы, которую русские математики проводили против различных форм идеализма, в частности кантианства.

Если у Гаусса мировоззренческие и методологические установки были тормозом на пути развертывания исследований по неевклидовой геометрии, то мировоззрение и методология Н.И. Лобачевского открывали для них широкий простор. Можно сделать вывод, что философской основой деятельности математиков был материализм. Именно на этой основе были получены наиболее выдающиеся открытия. Конечно, степень развития и осознанности материалистических принципов существенно видоизменялись. Признание объективного существования в действительности, первичность материального бытия по отношению к сознанию сочетаются с религиозностью, с определенными уступками идеализма. Особенно в среде немецких математиков все более широкое признание получает кантианство, что нашло отчетливое выражение в деятельности Гаусса. Таким образом, если в развитии математики в первые десятилетия ХIХ века и прослеживается влияние немецкой философии, то оно исходило не от Гегеля, а именно от Канта.

Чем объяснить, что Кант, а не кто-то из последующих представителей немецкой классической философии, стал наиболее популярным среди математиков?

Философия математики Канта выглядела более приемлемой для математиков того времени. Она позволяла отстоять правомерность математики как системы всеобщих и необходимых истин, что было весьма актуальной проблемой в связи с разрушительной деятельностью Юма. Кант не доводит свою философию математики до таких конкретных выводов, которые бы резко расходились с общепринятыми математическими положениями. Если у Гегеля выяснение различий между философией и математикой служит скорее разъединению этих наук, то кантовский анализ способствовал их сближению. Раскрывая специфику философского знания, Кант постоянно указывает на возможность или невозможность применения в математике выделенных особенностей философии.

В целом философия математики Канта, если её рассматривать не в соотношении с концепцией Гегеля, а применительно к реальному историческому процессу развития математических знаний, имело двойственный характер. С одной стороны как порождение критической философии она понесла ощутимый удар по догматическим воззрениям на природу математики, способствовало повышению уровня строгости математических исследований, обратила внимание на необходимость развивать геометрическое направление с другой стороны, априоризм сдерживал творческое развитие математики, в чём можно было убедиться на примере деятельности Гаусса, отрицательное влияние на её прогресс оказывали идеалистические установки кантовской системы, в связи с чем актуальной задачей была критическая переработка этой системы. В связи с тем, что кантовская философия математики выступает логическим следствием его философской системы, критика не могла ограничиваться только областью философских проблем математики, а должна была охватить исходные философские принципы. Ни Фихте, ни Шеллинг, ни Гегель не справились с этой задачей, поскольку их критические замечания не затрагивали идеалистических устоев учения Канта.

5. Развитие математики во второй половине хiх столетия

"Завершением новейшей философии является философия Гегеля. Поэтому историческая необходимость и оправдание новой философии по преимуществу связано с критикой Гегеля". Эти слова принадлежат Людвигу Фейербаху, который не только сумел правильно осмыслить основное направление последующего развития философской мысли, но и внес в него весомый вклад.

Материалистические принципы Фейербах наиболее полно раскрывает при анализе вопросов теории познания, религии, этики. Что касается философских проблем математики, то он ими не занимался. В его сочинениях лишь изредка встречаются отдельные высказывания, относящиеся к данной проблеме. Указывая на взаимную связь созерцания и мышления, Фейербах непосредственно с опытом связанным наукам отдавал предпочтение перед абстрактными теориями, и в этом отношении естествознание вызывало у него больше симпатий, чем математика. В целом фейербаховская критика очень слабо, лишь в опосредованной форме затрагивала идеалистические воззрения на природу математики, действенного влияния на процесс взаимосвязи философских и математических знаний она не оказала.

С учетом новых достижений математики и естествознания, К. Маркс и Ф. Энгельс с принципиально новых философских позиций осмыслили процесс взаимосвязи философии и математики, разработали качественно своеобразную систему философских проблем математики.

Диалектико-материалистическое решение вопроса о соотношении объективной и субъективной диалектики, выражающееся в наличии двух рядов взаимосвязанных законом позволило Энгельсу вскрыть объективную причину эффективного применения математики в самых различных областях человеческой деятельности и уточнить сам механизм этого применения.

В историческом процессе было создано не мало концепций философии математики, отличающихся между собой как по заложенным в их основу философским принципам, так и по содержанию тех математических знаний, которые в них используются. Определяющим компонентом философии математики выступает ее философская основа, в силу этого классификация данных концепций может быть по тому же критерию, по которому классифицируют философские системы. К. Маркс и Ф. Энгельс сумели четко определить такого рода критерий и сформулировали его как вопрос об отношении мышления к бытию, сознания к материи, назвав его основным вопросам философии. При философском анализе математического познания основной вопрос философии может быть сформулирован как вопрос об отношении математического познания к действительности.

Материалистическое решение данного вопроса у Энгельса приводит к характеристике математики как абстрактной науки, "занимающейся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности". Тот факт, что эти умственные построения (числа, фигуры, величины) или тот материал, с которым математика непосредственно имеет дело, принимает "чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира".

Подчеркивая, что свойства и отношения материального мира первичны по отношению к объектам математики, что данные объекты органически связаны с ними, Энгельс тем самым на новой основе возрождает материалистическую позицию мыслителей ХVII - ХVIII веков.

Сохранив положения об опосредованности объектов математики мыслительной деятельностью, Энгельс называет их умственными построениями, но, в противоположность Гегелю, эти объекты понимаются не как формы выражения каких-то аспектов абсолютной идеи, а как отражения материального мира.

В силу этих вышеизложенных соображений Энгельс приходит к совершенно справедливому и логически обоснованному выводу о том, что математика является необходимым фрагментом общей естественнонаучной картины мира. Без нее эта картина мира была бы, очевидно, неполной. Именно философский синтез, объединяя, позволяет создать, общее, целостное, диалектическое представление о природе.

Философия К. Маркса и Ф. Энгельса утверждает необходимость творческого союза философии и других наук, в том числе и математики. Данный союз основывается на объективных потребностях использовать философские знания развитии математики и, в свою очередь, учитывать результаты математического познания в философских исследованиях.К. Маркс и Ф. Энгельс особенно много внимания уделяли анализу процесса взаимосвязи философии и естествознания. Учитывая родственность теоретического познания и математики, большинство высказанных ими положений непосредственно относится и к проблеме взаимосвязи философии и математики.

Ф. Энгельс указывает, что многие исследователи высказывают нигилизм по отношению к философии, но в силу того, что последняя объективно необходима для развития конкретной науки, "те, кто больше всех ругает философию, являются рабами как раз наихудших вульгаризированных остатков наихудших философских учений". "Какую бы позу не принимали естествоиспытатели, над ними властвует философия. Вопрос лишь в том, желают ли они, чтобы над ними властвовала какая-нибудь скверная модная философия, или же они желают руководствоваться такой формой теоретического мышления, которая основывается на знакомстве с историей мышления и ее достижений". Синтезируя многообразие форм воздействия философии на математику можно сказать, что философия является основой мировоззрения и наиболее общей методологией теоретической и практической деятельности, причем мировоззренческая и методологическая функции философии органически переплетаются. Изучение философии необходимо для развития теоретического мышления, что особенно актуально для математики. Более конкретно влияние философии на математику осуществляется через разработку философских проблем математики, которые как бы преломляют функции философии применительно к отдельным математическим исследованиям.

Философский анализ конкретных наук, согласно Ф. Энгельсу, не ограничивается выдвижением абстрактных идей и принципов. В отдельных случаях он приводит к таким результатам, которые сопоставимы с открытиями, сделанными представителями отдельных наук. В качестве примеров "естественнонаучных успехов философии", которые предвосхитили открытие естествоиспытателей "даже в их собственной области", Ф. Энгельс указывает следующие: "Лейбниц - основатель математики бесконечного … Кант - теории происхождения мира до Лапласса; Окен - первый принявший в Германии теорию развития".

В свою очередь математика оказывает существенное влияние на философскую мысль. Ее развитие подтверждает на конкретном материале истинность положений диалектико-материалистической философии. Энгельс находил в этой науке "диалектические вспомогательные средства и обороты", К. Маркс в "Математических рукописях" на основе анализа математического познания выявил ряд общих закономерностей познавательной деятельности, в частности идею об оборачиваемости метода познания. Содержание ряда математических понятий в обобщенном виде может быть использовано для обогащения соответствующих философских категорий. Математический аппарат широко используется классиками марксизма как вспомогательное средство в философских работах.

Выработанная классиками марксизма концепция математического познания в ХIХ веке не была единственной. Параллельно существуют другие философские течения, которыми тоже занимались в математике.

Одной из самых распространенных и влиятельных философских теорий в начале второй половины ХIХ столетия в Германии было волюнтаристское, и рационалистическое учение А. Шопенгауэра (1788 - 1860).

Исходя из принципов и волюнтаризма, Шопенгауэр негативно относился к исследованиям по обоснованию математики, к повышению логической строгости математических доказательств. С его точки зрения высшую степень достоверности дает непосредственное созерцание связи между элементами доказываемого положения.

"Пригодность математики - лишь косвенное: именно, ею следует пользоваться для тех целей, которые достижимы только посредством нее; сама же по себе математика оставляет ум на той же ступени, где она его нашла, и не только не способствует его дальнейшей культуре и развитию, но даже прямо задерживает их".

Шопенгауэр был "властелином дум" определенной части немецкой интеллигенции в атмосфере разочарования политической и духовной подавленности после революции 1848 г. Когда в конце 60-х - начале 70-х годов историческая обстановка изменилась, интерес к шопенгауэровской философии угасает. Популярными становятся те его последователи, которые, сохраняя принципы иррационализма и волюнтаризма, сумели придать им более приемлемую, не столь скудно обоснованную и менее пессимистическую форму. К ним, прежде всего, следует отнести Э. Гартмана (1842-1906).

Гартман принимает кантовское положение, но считает "за лучшее место оснований Канта предложить для его положения другие доказательства".

В то время математики интенсивно занимались уточнением основ своей науки, совершенствовали аксиоматику и механизм дедуцирования. Гартман как будто бы поддерживает их усилия. Он оказывает, что через математику "проходят два метода: дедуктивный или дискурсивный и интуитивный". Однако он стремился подорвать доверие к дедуктивному методу и на его место поставить метод интуитивный.

В 50-х годах ХIХ века оформляется в относительно самостоятельное течение так называемый вульгарный материализм. Основные представители этого течения - К. Фохт (1817-1895), Я. Молешотт (1822-1893), Л. Бюхнер (1824-1899). Математика анализируется данными исследователями очень слабо. При рассмотрении отдельных философских проблем математики они явно склоняются на позиции узкого эмпиризма. Позитивным у них является утверждение о существовании объективного аналога математических знаний: зиждется исключительно на объективных отношениях, пишет Л. Бюхнер, - без которых не были бы возможны также и математические законы; вот почему математику следует причислять к естественным, а не к философским и спекулятивным наукам. Но это утверждение сочетается с отрицанием объективного содержания математических понятий вне чувственно наглядных образов, с умалением роли абстрактных теоретических построений. "Понятия пространства, величины, протяжения, высоты, ширины, глубины получены лишь из чувственного опыта и не существовали бы без него. Таким образом, общий принцип всей математики добыт эмпирическим путем".

Линия отрыва конкретной науки от философии, которую проводили вульгарные материалисты, характерна и для последователей О. Канта, представителей так называемой позитивной философии, у которых как отмечал К. Маркс, "нет ровно ничего позитивного кроме их высокомерия". Позитивисты выступили с критикой некоторых ортодоксальных утверждений О. Канта. Они сделали некоторые разделы его философии более соответствующими духу времени, внесли некоторые дополнения и в разработку философских проблем математики.

Вместе с тем, в ряде моментов рассуждения позитивистов представляются менее содержательными, чем воззрение Канта. Согласно одного из позитивистов - Л. Хорда - математика "будет вполне поглощена другими науками и не будет более занимать отдельного места или положения в научной иерархии. Так называемая чистая или абстрактная математика не имеет реального существования сама по себе".

Наиболее благожелательное отношение к математике по сравнению с рассмотренными идеалистическими школами обнаруживается у неокантианцев. Самый старый и значительный из неокантианцев Ф. Ланге истолковывает кантовский априоризм как психофизиологическую теорию. Ланге придал своей философии социально-политическую ориентацию и каких-то новых идей относительно природы математики не высказал.

В 70-х годах неокантианство как бы расслаивается на два главных направления - Баденскую и Марбургскую школы. Видным представителем первой были В. Виндельбанд (1848-1915) и Г. Риккерт, второй - Г. Коген (1842-1912) и П. Наторп (1854-1924).

Представители баденской школы положительно оценивали использование математики естествознания, но были против использования ее при изучении социальных явлений.

В пределах марбургской школы особенно много внимания анализу математического познания уделял Г. Коген. Абсолютизируя роль математической абстракции познания, Коген считает, что задача философии исследовать строго трансцендентальные объекты, которые носят рассудочный характер. Он объявляет, что "факты науки" формируются фактически исключительно творческой силой мышления. Ценностью представляется только путь познаний, а не та цель, к достижению которой оно стремится. Способ обоснования математических положений через установление их взаимосогласованности логической связи с исходными понятиями переносится Когеном на весь познавательный процесс в качестве универсального средства установления личности.

Проведенный анализ различных направлений идеалистической философии с точки зрения разработки в ней философских проблем математики дает общее представление о том, какой хотели видеть математику приверженцы этой философии. Чтобы иметь представление, какой она была в действительности дадим краткую характеристику ее развития во второй половине ХIХ столетия.

По объему накопленных знаний, по глубине открытий, по уровню их абстрактности и эффективности применений пять-шесть десятилетий развития математики, в ХIХ веке сравнимы со столетиями предшествующей истории.

В ХIХ веке как бы продолжая традиции предшествующих столетий, математизация охватывает новые области науки. К астрономии, механике, оптике, требовавшим обширных математических знаний, присоединяются термодинамика, теория магнетизма, электродинамика. Быстро растут математические запросы техники. Основным математическим аппаратом новых областей механики и математической физики выступают теория дифференциальных уровней с частными производными, теория потенциалов и другие. Все более ощутимые запросы к математике начинают предъявлять изыскания в области социальных явлений.

Наряду с развитием прикладных областей мощное развертывание получает чистая математика. В чистой математике создаются разделы, объекты которых формируются не только путем непосредственного абстрагирования от созерцаемых в окружающей действительности количественных отношений и пространственных форм, но очень бурно возникают абстракции от абстракций, абстракции второго порядка.

Предметом сознательного и повышенного интереса математиков становятся вопросы формирования теоретических объектов, вопросы логики и методологии математического познания.

Математика все настоятельнее требовала таких ученых, которые бы сочетали в себе теоретика, практика и организатора.

Если дать анализ мировоззрения Б. Римана, М. Кантора, П.Л. Чебышева, С.А. Ковалевской и других великих математиков ХIХ века, можно убедиться, что философскую основу их продуктивной деятельности составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики, хотя их материализм не был последовательным.

Сопоставляя реальный процесс развития математики с развитием философской мысли во второй половине ХIХ века, можно сделать заключение, что наиболее глубокой и всеобъемлющей философской концепцией математического познания является система взглядов К. Маркса и Ф. Энгельса. Они применили диалектико-материалистический метод к истории развития математики и ее новым достижениям. Они сумели дать ответ на наиболее важные мировоззренческие и методологические проблемы, поставленные на повестку дня прогрессом математики ХIХ века.

К. Маркс и Ф. Энгельс убедительно показали не способность идеализма и метафизики служить общей методологией математического познания. Реальный процесс развития этой науки актуализировал необходимость перехода на позиции диалектического материализма, и в среде математиков началось стихийное движение в этом направлении. Но этот переход в рассматриваемый период осуществлен не был. Разработанная К. Марксом и Ф. Энгельсом система взглядов на природу математического познания была тем идеалом, к достижению которого шло развитие математических знаний во второй половине ХIХ века.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели взаимодействие философии и математики на различных этапах исторического развития. Эти науки находятся постоянно в неразрывной связи. Уже на самых ранних этапах развития человеческой мысли они идут рядом, дополняя друг друга и друг на друга воздействуя. Причем характер этого взаимодействия находится, как и непосредственное развитие каждой из наук в отдельности, в строгой зависимости от развития производительных сил и нужд производства. Это видно хотя бы на примере того, что структура этого взаимодействия усложняется по мере развития производительных сил и стоит на мертвой точке в период средневековья.

Характер взаимодействия философии на математику выражается смелостью и гибкостью математических теорий в рассматриваемый период времени. “Несмотря на особенность математического знания, методов его построения и использования в естествознании, не смотря на все, казалось бы загадочные эффекты, в основе математической мощи лежит природное начало - единство ее структур и проявлений. ” Характер воздействия математики на философию имеет многостороннее выражение, но следует отметить влияние математики на соотношение сил в непримиримой борьбе между материализмом и идеализмом. “В философской традиции обращение к рассмотрению математических знаний всегда играло очень важную роль. Математика выступала как образец достоверного и неопровержимого знания." Знание математики, строгость и четкость ее методов помогают философам вырабатывать необходимую, более соответствующую духу времени, позицию. В то же время философия влияет на такие определяющие понятия математики, как предмет, задачи, метод.

В современных условиях, в связи с усиливающимся прогрессом, развитием наук, диалектический и исторический материализм стали достоянием подавляющего большинства математиков, что имеет свое влияние как на философские проблемы математики, так и на всю математику в целом. Взаимодействие между философией и математикой приобрело новые характерные черты. Это связано с тем, что в связи с требованиями цивилизации в математике появилось и развилось множество направлений. Кроме того, не потеряла свою актуальность борьба между материализмом и идеализмом, что выразилось в развитии множества разновидностей философии. Это оказывает непосредственное влияние на обоснование математики, ее развитие.

Таким образом, взаимосвязь философии и математики не утрачена, она еще более укрепилась. Эти две науки будут идти рядом пока существовать будет человеческое знание.